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Il pleut, il pleut, bergère…

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Il avait beaucoup plu, sur cette planète, pendant fort longtemps.
Sur la place centrale d’un village abandonné trônait un pluviomètre, capable de contenir au maximum un demi-litre. Sur ce pluviomètre, des dessins racontaient l’histoire suivante :
Au soir du jour ou ce pluviomètre fut installé, il contenait déjà 1/3 de litre. Mais à partir de ce jour précis, la pluie a commencé à diminuer. Les anciens habitants de cette planète ont constaté qu’il tombait chaque jour trois fois moins d’eau que la veille. Ainsi, par exemple, il tomba le deuxième jour 1/9 de litre, le troisième jour 1/27 de litre… Finalement, il n’y eut plus assez d’eau pour abreuver les habitants, qui finirent par disparaître quelques centaines d’années plus tôt…
En supposant que l’humidité de l’air soit suffisante pour avoir empêché l’évaporation de l’eau du pluviomètre, en supposant aussi que personne n’ait touché à son contenu, en supposant enfin qu’il ait continué à pleuvoir chaque jour trois fois moins que la veille, le pluviomètre était-il plein le jour où il fût découvert ?

Réponse
Non.
En tapant sur une calculatrice 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +…, on constate qu’on se rapproche progressivement de 0,5 et donc de 1/2. La question consiste en fait à savoir si, en continuant longtemps à ce rythme, on dépassera un jour le demi-litre fatidique.
Posons A = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 +…

A est en fait la quantité d’eau en litres que contiendrait le pluviomètre s’il pleuvait indéfiniment de cette manière, 1/3 de litre le premier jour, et chaque jour suivant trois fois moins que la veille…

On ne peut pas, à la calculatrice connaître la valeur de A car il y a un nombre infini de fractions. Mais multiplions A par 3.

3 x A = 3 x (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +…) = 3 x 1/3 + 3 x 1/9 + 3 x 1/27 + 3 x 1/81 + 3 x …
Donc A x 3 = 3/3 + 3/9 + 3/27 + 3/81 + 3/… = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …

Par conséquent, A x 3 = 1 + (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +…) = 1 + A …

On sait maintenant que 3 x A = 1 + A, soit 3A = 1 + A

Retranchons A dans chaque membre de cette équation…

Donc 3A – A = 1 + A – A ce qui donne 2A = 1, et par conséquent :

A = 1/2.

Mais A est la quantité d’eau qu’on obtiendrait après une infinité de jours de pluie … Quel que soit le nombre de jours qui se sont écoulés depuis l’installation du pluviomètre, ce nombre n’est pas infini puisqu’il est forcément inférieur à l’âge de l’univers, soit 15 milliards d’années, ou environ
5 475 000 000 000 jours…

Et donc le pluviomètre n’est pas plein.

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