Le problème des 40 moines

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L’énigme se passe dans un monastère très strict où vivent 40 moines. Ces moines ont pour seule vocation la prière et ils ne doivent absolument pas communiquer entre eux, ni par geste, encore moins par la parole.
Ils ne peuvent même pas se regarder dans un miroir. Chaque jour, le père supérieur, seul à pouvoir parler, réunis les moines en salle de réunion pour les informer des nouvelles du jour.
Une maladie très dangereuse et peut être contagieuse vient d’arriver chez les moines. Elle se caractérise par la présence de petites plaques rouges sur le visage, bien visibles mais non douloureuses. Elle ne provoque pas d’autres symptômes au début. Chaque moine ne peut donc pas savoir s’il est malade.
Le père supérieur décide de prévenir les moines. Lors de la réunion quotidienne, il les informe que cette maladie est dangereuse. Le père supérieur demande qu’à la fin de chaque réunion, tous ceux qui se savent malades, préparent leurs valises et partent du monastère.
A la fin de cette réunion, le père supérieur demande : « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ». Mais personne ne se lève.
Le lendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande : « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ». Mais personne ne se lève.
Le surlendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande : « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ».
A ce moment-là, tous les moines qui sont malades se lèvent et s’en vont.
Combien sont-ils ?

Réponse

Supposons qu’un seul moine soit malade. Lors de l’annonce du père supérieur, celui-ci constate forcément qu’aucun autre moine n’est malade, mais comme la maladie frappe bel et bien le monastère, c’est que lui-même est malade et c’est le seul. Il devrait donc partir après la première annonce du père supérieur.
S’il y a 2 moines malades, chacun des deux moines malades voit qu’un autre est malade. Mais ils ne savent pas si eux-mêmes sont malades. Ils attendent donc la fin de la première annonce. Aucun d’eux ne se lève car ils ne savent pas s’ils sont malades. Mais à la fin de la réunion, comme aucun d’eux ne s’est levé, ils savent qu’il y a plus qu’un seul malade, car sinon on serait dans le cas précédent et l’unique malade serait parti à la fin de la première réunion. Ils sont donc bien tous les deux malades et, le lendemain, dès l’annonce du père supérieur ils peuvent se lever et partir car ils savent maintenant qu’ils sont les 2 seuls malades.
Faisons l’hypothèse que s’il y avait N malades, ils pourraient partir juste après la Nième annonce du père supérieur car ils sauraient tous qu’ils sont malades.
Supposons qu’il y a N+1 malades, chacun d’eux en voit N autres, mais ne savent pas s’il y a N malades ou bien N+1 car ils ne savent rien en ce qui les concerne eux-mêmes. Ceux-ci doivent donc attendre la fin de la réunion du Nième jour pour savoir s’ils sont malades. S’ils étaient N, ils seraient partis à la fin du Nième jour d’après l’hypothèse. S’ils ne sont pas partis le Nième jour, c’est donc qu’ils sont N+1, et ils peuvent donc partir juste après la (N+1)ième annonce. Comme l’hypothèse est vraie pour N=1, et que nous venons de vérifier la récurrence, l’hypothèse est donc toujours vraie.
En conclusion, telle qu’est posé l’énoncé, les moines malades sont donc 3. Et le fait qu’ils soient 40 au départ n’est là que pour embrouiller les esprits …